Подполе. Простое поле. Множество M поля P называется подполем P, если оно само является полем при тех же операциях сложения и умножения, которые заданы в поле P. Тогда P называется надполем или расширением поля M.

     Так, поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел, а последнее - подполем поля комплексных чисел.

     Теорема 5. Для того чтобы множество M поля P, содержащее не менее двух элементов, было подполем, необходимо и достаточно, чтобы сумма, разность, произведение и частное (если только оно существует в P) любых элементов из M снова принадлежали к M.

     Доказательство вполне аналогично проведенному для соответствующей теоремы о кольцах (теорема 4).

     Всякое подполе M поля P содержит 0 как разность a - a, где , и единицу как частное , где , a ≠ 0.

     Теорема 6. Пересечение (в смысле пересечения множеств) любого множества надполей поля P опять является подполем поля P.

     Соответствующая теорема верна и для колец, т. е. пересечение любого множества подколец кольца R есть подкольцо кольца R. Доказательство ее вполне аналогично данному здесь для полей.

     Доказательство. Пусть {M_s} есть некоторое множество подполей, где индексы s образуют множество S и - пересечение всех подполей M_s данного множества; 0 и 1 входят в каждое подполе M_s и, значит, в D. Итак, D содержит не менее двух элементов. Если a и b - элементы D, то они входят в каждое M_s и по теореме 5 a + b, a - b, ab, а при b ≠ 0 и также входят в M_s, а значит, и в D. В силу теоремы 5 D - подполе поля P.

     Поле, не имеющее подполей, отличных от него самого, называется простым.

     Примерами простых полей могут служить поле рациональных чисел и поля вычетов по простому модулю p.

     Любое подполе M поля P рациональных чисел содержит число 1, а значит, и все его кратные n · 1 = n, т. е. все целые числа, а значит, и все их частные, т. е. все рациональные числа. Итак, M = P, т. е. P - простое поле. Точно так же любое подполе M поля C_p вычетов по простому модулю p содержит класс (1), служащий единицей C_p, а значит, любой класс (r) как r-кратное класса (1). Итак, M = C_p, т. е. C_p - простое поле.

     Можно доказать, что этими полями в некотором смысле исчерпываются все простые поля.

     Теорема 7. Любое поле содержит простое подполе и притом только одно.

     Доказательство. Поле P вообще содержит подполя (например, само P). Пусть D есть пересечение всех подполей поля P. По теореме 6 D является подполем P и по самому определению входит в любое подполе. Пусть M - подполе D, отличное от D.

Из определения подполя следует, очевидно, что M будет подполем и для P, и D не входит в M, что невозможно. Итак, D - простое подполе P. Если D' - также простое подполе поля P, то пересечение будет опять подполем поля P, причем и . Но из определения подполя следует, что в таком случае D" будет подполем как для D, так и для D', а так как D и D' - простые подполя, то D = D" = D', чем доказана единственность простого подполя.

-1-2-3-4-5-6-