Поле

     Примеры колец, приведенные в разделе Кольца, показывают, что в отношении обратной операции для умножения (в отличии от сложения) различные кольца обладают совершенно различными свойствами. Так, в кольце целых чисел деление выполняется лишь в исключительных случаях, причем все элементы кольца делятся на +1 и -1. В кольце же рациональных чисел деление всегда возможно (кроме деления на 0). Желая изучить свойства обратной операции для умножения, приходим к важнейшему частному случаю кольца - полю.

     Полем называется кольцо P, обладающее следующими свойствами:

     VII. (Обратимость умножения) Для любых a и b из P, где a ≠ 0, уравнение ax = b имеет (по крайней мере одно) решение, т. е. существует элемент такой, что aq = b.

     VIII. P содержит по крайней мере один элемент, отличный от нуля.

     Примеры полей. Из примеров 1-10 колец (Кольца) только 2, 3 и 4, т. е. рациональные, действительные и комплексные числа, являются полями. В примере 5 свойство VII выполнено, так как вообще нет элемента a ≠ 0, но не выполнено свойство VIII. В остальных примерах не выполняется свойство VII. Приведем еще следующие примеры полей.

     1. Множество комплексных чисел a + bi с любыми рациональными a, b.

     2. Множество действительных чисел вида с любыми рациональными a и b.

     3. Множество всех рациональных функций с действительными коэффициентами от одного или нескольких переменных.

     4. Множество из двух элементов, которые обозначим через 0 и 1, при следующем определении операций:

0 + 0 = 1 + 1 = 0,   0 + 1 = 1 + 0 = 1,

0 · 0 = 0 · 1 = 1 · 0 = 0,   1 · 1 = 1.

     Все теоремы из раздела Кольца, выведенные для колец, остаются верными, в частности, для полей. Кроме того, из свойства VII вытекают теоремы, аналогичные тем, которые были приведены в разделе Кольца из свойства III.

-1-2-3-4-5-6-