Значит, должно быть r = 0, так как r > 0 противоречит выбору p. Итак, k = pq, т. е. k делится на p, и если k отлично от p, оно не может быть простым. Значит, p - единственное простое число, для которого pe = 0.

     Эта теорема позволяет дать следующее определение:

     Характеристикой поля P называется число 0, если na ≠ 0 для любого элемента a ≠ 0 и любого целого числа n ≠ 0 и простое число p такое, что pa = 0 для любого элемента a в противном случае.

     Так как для числа 1 и любого целого n будет n · 1 = n, то все числовые поля имеют характеристику 0.

     Пример поля характеристики p > 0. Пусть n - любое натуральное число, больше единицы. Тогда все целые числа могут быть разбиты на классы, так что к одному классу принадлежат все числа, дающие при делении на n один и тот же остаток. Если класс чисел, дающих при делении на n остаток r, обозначить через (r), то получим всего n различных классов: (0), (1), (2), ..., (n - 1). Очевидно, что два числа a и b тогда и только тогда принадлежат к одному классу, когда их разность a - b делится на n (по существу мы имеем здесь дело со сравнениями по модулю n). Пусть C_n - множество всех определенных таким образом классов целых чисел. Определим в C_n операции сложения и умножения. Если (r) и (s) - два класса, причем класс (r) содержит число a и (s) - число b, то суммой (r) + (s) данных классов назовем класс, содержащий число a + b, и произведением (r)·(s) - класс, содержащий число ab. Сумма и произведение классов определены однозначно, т. е. не зависят от выбора представителей a и b этих классов. В самом деле, если a и a' - два числа из класса (r) и b и b' - два числа из класса (s), то числа a - a' и b - b' делятся на n. Поэтому также

(a + b) - (a' + b') = (a - a') + (b - b')

и

ab - a'b' = (ab - a'b) + (a'b - a'b') = (a - a')b + a'(b - b')

делятся на n. Но это значит, что числа a + b и a' + b' принадлежат к одному классу и то же верно для чисел ab и a'b'.

     Свойства кольца I-VI (определение 1) для классов автоматически выполняются, так как эти свойства верны для целых чисел, и операции над классами определены через операции над представителями. Итак, C_n является кольцом. Оно называется кольцом вычетов по модулю n. Нулем кольца C_n является, очевидно, класс (0), состоящий из всех чисел, делящихся на n.

     Если n = kl - число составное, то кольцо C_n содержит делитель нуля, так как (k) ≠ (0) и (l) ≠ (0), но (k)·(l) = (0). Если же n = p - число простое, то кольцо C_p не имеет делителей нуля, так как, если (r)·(s) = (0), то rs делится на p, и значит, либо r, либо s делится на p, т. е. либо (r) = 0, либо (s) = 0.

     Так как кольцо C_p содержит p элементов и, значит, конечно, то по теореме 2 оно будет полем. Класс p(r) содержит число pr, делящееся на p. Поэтому p · (r) = (0) для любого класса (r) поля C_p.

     Значит, p - характеристика поля C_p.

-1-2-3-4-5-6-