Как всякое кольцо, поле является группой относительно операции сложения. Все элементы поля, не равные нулю, образуют группу относительно операции умножения. В самом деле, если a ≠ 0 и b ≠ 0, то уравнение ax = b имеет решение q ≠ 0, т. к. a · 0 = 0 ≠ b (см. теорема 1). Поэтому свойства умножения IV, V (см. определение 1) и VII доказывают наше утверждение. Группа по сложению всех элементов поля называется аддитивной, а группа по умножению всех его элементов, отличных от нуля, - мультипликативной группой поля. Поле вполне определяется заданием двух этих групп, заданием произведений нуля на все элементы и требованием дистрибутивного закона для любых его элементов, включая нуль. Отсюда уже следует, что произведение любого элемента на нуль равно нулю (см. теорема 1).

     Из свойств мультипликативной группы (см. теорема 1) следует, что в поле существует единица, т. е. такой элемент e, что ae = ea = a для любого a из P. В самом деле, для a ≠ 0 это следует из свойств единицы группы, а для a = 0 - из свойства нуля при умножении. Далее, для любого a ≠ 0 существует обратный элемент a ^-1 такой, что aa ^-1 = a ^-1a = e. При этом единица e и обратный элемент a ^-1 для данного a определяются однозначно.

     Если в кольце существует единица, то только одна, т. к. если e₁ и e₂ - единицы, то e₁ = e₁e₂ = e₂. Если для элемента a кольца с единицей существует обратный элемент, то только один, т. к. если b и c - обратные элементы для a, то b = bac = c.

     Но в кольце с единицей может и не быть обратных элементов, как, например, в кольце целых чисел. Существуют также кольца без единицы, как, например, кольцо четных чисел или кольцо целых чисел, кратных числу n > 1.

     Если в кольце R существует единица e ≠ 0 и для любого a ≠ 0 существует обратный элемент a ^-1, то элементы кольца, отличные от нуля, образуют группу по умножению (группы), и значит, кольцо R будет полем.

     Так как мультипликативная группа поля коммутативна, то умножение обладает обратной операцией - делением. При этом частное однозначно определено для любого a, не равного нулю, и любого b. Для b ≠ 0 это следует из свойств мультипликативной группы поля (группы), а для b = 0 имеем: , так как a · 0 = 0. Дополнительное требование a ≠ 0, входящее в свойство VII, нарушает симметрию свойств сложения и умножения поля. Отбросить это требование и тем самым восстановить указанную симметрию, однако, невозможно. В самом деле, уравнение ax = b при a = 0 и b ≠ 0 не имеет решения в поле или даже в кольце, содержащем элементы, отличные от нуля. Действительно, если q - решение указанного уравнения, то aq = 0 · q = 0 = b, это невозможно. Поэтому деление на нуль невозможно, если делимое отлично от нуля. Частное может равняться любому элементу кольца, так как для любого q имеем: 0 ≠ q = 0.

-1-2-3-4-5-6-