Теорема 1. Поле не имеет делителя нуля (определение 2), т. е. если ab = 0, то либо a = 0, либо b = 0.

     Доказательство. Если ab = 0 и a ≠ 0, то, умножая обе части равенства на a ^-1, найдем 1 · b = a ^-1 · 0, т. е. b = 0.

     Итак, поле является кольцом без делителей нуля. Утверждение, обратное этому, вообще неверно: существуют кольца без делителей нуля (например, кольцо целых чисел), не являющиеся полями. Однако для конечных колец обратная теорема также верна. А именно:

     Теорема 2. Всякое конечное кольцо без делителей нуля, содержащее более одного элемента, является полем.

     Доказательство. Достаточно проверить свойство VII. Пусть a ≠ 0. Каждому элементу x кольца поставим в соответствие элемент y = ax. Если x₁ ≠ x₂, то также y₁ ≠ x_y, т. к. иначе ax₁ = ax₂ и x₁ = x₂ (теорема 2). Значит, x → y есть взаимно однозначное отображение всего кольца R на некоторое его подмножество M, т. е. R ~ M. Но по теореме 1 конечное множество R не равномощно своему собственному подмножеству. Поэтому R = M, т. е. для любого элемента существует в R элемент q такой, что q → b, т. е. aq = b, что и доказывает VII.

     Так как все элементы поля, отличные от нуля, образуют по умножению коммутативную группу, то для любого элемента a ≠ 0 степень aⁿ определена при любом целом показателе n, причем справедливы обычные свойства степени (см. (3) - (5)).

     Для частного элементов любого поля верны те же правила оперирования, что и для обыкновенных дробей.

     Теорема 3. (Свойства частного)

     а) Если b ≠ 0, d ≠ 0, то тогда и только тогда, когда ad = bc;

     б) Если b ≠ 0, d ≠ 0, то ;

     в) Если b ≠ 0, d ≠ 0, то ;

     г) Если b ≠ 0, с ≠ 0, d ≠ 0, то .

-1-2-3-4-5-6-