Пусть

N' = {a₁, a₂, a₃, ...}

- множество всех построенных элементов. Очевидно, что из i < k следует по свойству 2) a_i < a_k, откуда по свойству 1) . Значит, N' равномощно множеству натуральных чисел. Поэтому множество A бесконечно (см. теорему 5), что невозможно. Существование первого элемента доказывается аналогично.

     Теорема 7. Любое конечное множество можно упорядочить. Все конечные упорядоченные множества с одним и тем же числом элементов n > 0 подобны отрезку |1, n| натурального ряда и, значит, подобны между собой.

     Доказательство. Пустое множество упорядочено по определению. Если - конечное множество, то A ~ |1, n|. Отрезок |1, n|, очевидно, есть упорядоченное множество. По теореме 5 множество A можно упорядочить. Пусть теперь A - любое конечное упорядоченное множество с числом элементов n > 0. По теореме 6 множество A содержит первый элемент a₁. Если n > 1, то множество

и снова содержит первый элемент a₂, причем a₁ < a₂. Пусть уже построен элемент a_i. Если i < n, то

и по теореме 6 оно содержит первый элемент a_i+1, причем a_i < a_i+1. Так мы построим элементы a_i для всех . Множество

A_n = {a₁, a₂, ..., a_n} ~ |1, n| ~ A.

Множество A не равномощно собственному подмножеству (см. теорему 1). Значит,

A = A_n = {a₁, a₂, ..., a_n}.

Очевидно, что из i < k следует a_i < a_k, т. е. A подобно отрезку |1, n|.

     Из этой теоремы следует, что все n! возможных перестановок множества с n элементами имеют один и тот же тип.

-1-2-3-4-