Конечные и бесконечные множества

     Множество натуральных чисел, меньших или равных некоторому натуральному числу n, называется отрезком натурального ряда и обозначается через |1, n|.

     Определение 1. Множество, равномощное отрезку натурального ряда, а также пустое множество, называется конечным. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.

     Иными словами, конечное множество (если оно не пусто) есть такое множество, элементы которого можно "пересчитать", т. е. перенумеровать так: a₁, a₂, ..., a_n, причем все элементы будут занумерованы, все числа от 1 до n будут использованы и различные элементы получат различные номера. Бесконечное же множество такое, элементы которого так "пересчитать" нельзя.

     Из свойств 2) и 3) равномощности, приведенных в предыдущем параграфе, следует, очевидно, что множество, равномощное конечному (или бесконечному) множеству, само будет конечным (соответственно, бесконечным).

     Теорема 1. Основная теорема о конечных множествах. Конечное множество не равномощно никакому его собственному подмножеству и собственному надмножеству.

     Доказательство. Каждое из двух утверждений теоремы (о неравномощности подмножеству и надмножеству) легко следует из другого, так как, если и , то из конечности одного из множеств A и B, как было отмечено ранее, следует конечность другого. Докажем, например, что конечное множество A не равномощно его собственному подмножеству. Для пустого множества A = 0 теорема верна, так как пустое множество вовсе не имеет собственных подмножеств. Пусть . Тогда по определению конечного множества множество A равномощно (по крайней мере одному) отрезку натурального ряда |1, n|. Докажем индукцией по числу n (заметим, что нельзя вести индукцию по числу элементов множества A, так как понятие о числе элементов вводится ниже с применением теоремы 1), что A нельзя взаимно однозначно отобразить на его собственное подмножество B. Для n = 1 это очевидно, так как A ~ |1, 1| и содержит лишь один элемент. Единственным его собственным подмножеством будет B = 0, причем A не равномощно B.

-1-2-3-4-5-6-7-8-