Соотношение равномощности обладает следующими тремя основными свойствами:

     1) рефлексивность: ;
     2) симметрия: если , то ;
     3) транзитивность: если и , то .

     Для доказательства, например, первого из них достаточно каждому элементу поставить в соответствие его же самого (тождественное отображение), что уже дает взаимно однозначное отображение множества X на себя. Остальные два свойства предлагается доказать самостоятельно.

     Мощность множества характеризует, так сказать, "количество" его элементов. Однако при этом может оказаться, что "часть равна целому", т. е. множество может иметь одинаковую мощность с его собственным подмножеством.

     Пример 6. Функция y = 10x, где x - действительное число, устанавливает равномощность отрезка [0, 1] и в 10 раз более длинного отрезка [0, 10]. Таким образом, в смысле мощности "количество" точек обоих отрезков одинаково.

     Пример 7. Два любых отрезка [a, b] и [c, d], а также два любых интервала (a, b) и (c, d) равномощны.

     Для доказательства достаточно рассмотреть функцию

     Во-первых, каждому действительному числу x однозначно соответствует y, причем легко видеть, что и . Далее, пусть

, и x₁ < x₂.

Согласно определению отрезка и интервала a < b и c < d. Следовательно, . Поэтому y₁ < y₂. Итак, если (или a < x < b), то и (соответственно, c < y < d). Значит, точкам отрезка [a, b] соответствуют точки отрезка [c, d], причем различные точки переходят в различные же (и то же верно в случае интервалов). Наконец, обратное отображение

обладает теми же свойствами, откуда следует, что для каждого y из [c, d] найдется один (и даже только один) прообраз x из [a, b] (то же для интервалов). Этим доказано, что [a, b] ~ [c, d] (соответственно, (a, b) ~ (c, d)).

-1-2-3-4-5-