Из и следует:

     (3)

     Но из (1) и (2) вытекает B' ~ |1, n|, что в силу (3) противоречит теореме 1, т. к. отрезок |1, n| оказывается равномощным своему собственному подмножеству B'.

     До сих пор мы не еще не доказали бесконечности какого-либо множества. Но из теоремы 1 следует

     Теорема 5. Множество N всех натуральных чисел, а также любое множество, содержащее подмножество, равномощное N, бесконечны.

     Доказательство. Множество N бесконечно, т. к. отображение f(n) = n + 1 для любого натурального числа n отображает взаимно однозначно N = {1, 2, 3, ...} на его собственное подмножество N₁ = {2, 3, 4, ...}. Значит, любое множество N', равномощное N, бесконечно, а по теореме 3 и любое множество, содержащее подмножество N', равномощное N, также бесконечно.

     Примеры. Множества действительных или комплексных чисел содержат множество N натуральных чисел и, следовательно, бесконечны. Отрезок [0, 1] также есть бесконечное множество, так как он содержит множество N' чисел вида (n = 1, 2, 3, ...), равномощное N.

     Множество, равномощное множеству натуральных чисел, называется счетным.

     Другими словами, счетное множество - это такое множество, элементы которого можно "перенумеровать" при помощи натуральных чисел так, чтобы при этом все числа были использованы и различные элементы всегда имели бы различные номера. Таким образом, счетное множество A всегда можно записать в виде

A = {a₁, a₂, ..., a_n, ...}.

     Как показывают примеры в конце предыдущего параграфа, множества четных или нечетных чисел, а также множество рациональных чисел счетны.

-1-2-3-4-5-6-7-8-