При совпадении слагаемых или сомножителей получаем n-кратное na или n-ю степень aⁿ элемента a. При этом степень aⁿ определена вообще лишь для натурального n, так как ее определение для требовало существование единицы и обратного элемента a ^-1, что в кольце может не выполняться. Свойства степени (3) - (5) сохраняются также лишь для натуральных показателей. В отличие от этого понятие n-кратного na элемента a и его свойства (6) - (8) остаются верными в случае кольца (как группы по сложению) для любых целых чисел.

     Из законов сложения I - III следует (как для всякой коммутативной группы) существование в любом кольце операции вычитания, обратной сложению. Умножение может и не обладать обратной операцией, как, например, в кольце целых чисел или в кольце многочленов.

     Следствие закона дистрибутивности. До сих пор мы рассматривали свойства каждой из двух операций кольца отдельно. Переходим к изучению их связи между собой. Эта связь определяется законом дистрибутивности VI.

     Прежде всего из VI и IV следует, очевидно, вторая форма закона дистрибутивности:

a(b + c) = ab + ac.

     Далее, обе формы закона дистрибутивности оказываются верными также и для разности, т. е.

(a - b)c = ac - bc,   a(b - c) = ab - ac.     (1)

     Для доказательства первого равенства надо проверить, что элемент (a - b)c удовлетворяет определению разности элементов ac и bc. Но действительно

bc + (a - b)c = [b + (a - b)]c = ac.

     Второе равенство доказывается аналогично.

-1-2-3-4-5-6-