В частности, равенства (3) - (5) принимают вид

(m + n)a = ma + na,     (6)

m(na) = (mn)a,     (7)

n(a + b) = na + nb.     (8)

     Операция, обратная операции сложения в аддитивно записанной коммутативной группе, называется вычитанием, а ее результат для элементов a и b, т. е. решение уравнений a + x = b и y + a = b, называется разностью элементов b и a и обозначается через b - a.

     Подгруппа. Подмножество H группы G называется подгруппой этой группы, если оно само является группой при той же групповой операции, что и в G.

     При выяснении того, является ли данное подмножество H подгруппой, можно пользоваться следующей теоремой:

     Теорема 2. Непустое подмножество H группы G будет подгруппой тогда и только тогда, когда 1) произведение двух любых элементов a и b из H принадлежит H, 2) элемент a ^-1, обратный для любого элемента a из H, принадлежит к H.

     Доказательство. Необходимость этих условий очевидна. Если, обратно, для H выполнены условия 1) и 2), то H (как непустое множество) содержит элемент a, значит, по свойству 2) оно содержит и a ^-1 и по свойству 1) aa ^-1 = e. Таким образом, H содержит единицу e и вместе с любым элементом a содержит обратный элемент a ^-1. Так как закон ассоциативности автоматически переходит с G на H, то H - подгруппа группы G.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-