Заметим, что из существования во множестве G единицы и обратных элементов при наличии закона ассоциативности следует выполнение в G законов обратимости. В самом деле, уравнение ax = b имеет решение a ^-1b и уравнение ya = b имеет решение ba ^-1. Таким образом, группу можно было бы определить как множество с ассоциативной операцией, обладающее единицей и обратными элементами.

     В примере 1 групп чисел по сложению единицей будет число 0 и обратным элементом для числа a - противоположное число -a. В примере 2 групп чисел по умножению единицей будет число 1 и обратным элементом для числа a - обратное число . В примере 3 единицей будет e и каждый из элементов e и a будет обратным для самого себя. В примере 4 единицей будет тождественное отображение множества M на себя, и обратным элементом для отображения s будет обратное отображение s ^-1.

     Произведение n одинаковых сомножителей a называется n-й степенью a и обозначается aⁿ.

     Это определение имеет смысл для любого натурального числа n. Для n = 0 определяем a⁰ = e, где e - единица группы G. Для целого отрицательного n = -m степень aⁿ = a ^-m можно определить либо как (a ^-1)^m, либо как (a^m) ^-1. Оба эти определения эквивалентны, так как

откуда (a ^-1)^m = (a^m) ^-1.

     Свойство произведения (1) при совпадении сомножителей обращается в известное свойство степени

a^maⁿ = a^m+n.     (3)

     Далее, индукцией по n легко доказать, что

(a^m)ⁿ = a^mn.     (4)

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-