б) Многочлены Лежандра. Оператор

формально самосопряжен и переводит пространство многочленов степени в себя. Имеет место очевидное тождество

откуда по формуле Лейбница, примененной к обеим частям,

Разделив последнее равенство на 2ⁿn! и вспомнив определение многочленов Лежандра, получим отсюда

Таким образом, оператор на пространстве многочленов степени диагонализируется в ортогональном базисе из многочленов Лежандра и имеет простой вещественный спектр. Стало быть, он самосопряжен.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-