5. Множество, состоящее лишь из одного числа 0.

     6. Множество четных чисел и вообще множество целых чисел, кратных некоторому числу n.

     7. Множество комплексных чисел a + bi с целыми a и b (так называемое кольцо целых комплексных чисел).

     8. Множество действительных чисел , где a и b - целые числа.

     Множество натуральных чисел, а также множество всех положительных рациональных чисел кольцами не являются, так как не выполняется аксиома III.

     9. Большую роль в алгебре играет кольцо многочленов с одним или несколькими неизвестными и коэффициентами из некоторого кольца R.

     При этом за операции сложения и умножения принимаются обычные действия над многочленами, известные из школьной алгебры. Эти действия имеют смысл, так как они сводятся к сложению и умножению коэффициентов многочленов, а последние принадлежат к кольцу R, где указанные действия определены.

     10. Пары (a, b) целых чисел образуют кольцо, если операции определены по формулам

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),   (a, b)(c, d) = (ac, bd).

     Для сложения и умножения в кольце справедливы все следствия, полученные из законов ассоциативности и коммутативности в предыдущем параграфе. В частности, можно определить сумму и произведение любого конечного числа элементов (определение 3), для которых верны правила оперирования, аналогичные (1) и которые не зависят от порядка данных элементов.

     Свойства I - III показывают, что кольцо относительно операции сложения является коммутативной группой. Поэтому во всяком кольце существует элемент 0, называемый нулем кольца, со свойством

a + 0 = 0 + a = a

для любого a. Далее, для любого a существует противоположный элемент -a такой, что

a + (-a) = (-a) + a = 0.

-1-2-3-4-5-6-