Множество, не являющееся конечным или счетным, называется несчетным.

     Следующий пример показывает, что такие множества действительно существуют.

     Множество всех действительных чисел несчетно. Заметим, что из примеров 2 и 3 следует равномощность этого множества интервалу (0, 1). Достаточно поэтому доказать несчетность последнего.

     Будем считать известным, что каждое число интервала (0, 1) записывается в виде конечной или бесконечной десятичной дроби вида

0, a₁ a₂ a₃ ...

При этом хотя бы одна из цифр a_i отлична от нуля (т. к. число 0 = 0,000... не принадлежит интервалу). Далее, для чисел, имеющих запись в виде конечной десятичной дроби, существует и другая запись, где все цифры a_i, начиная с некоторого места, равны 9. Например,

0,53000... = 0,52999...

Остальные числа (т. е. иррациональные и те рациональные, которые разлагаются в периодическую дробь с периодом, не равным 9) имеют единственную запись. Из двух возможных записей для первых чисел выберем какую-нибудь одну, например, в виде конечной десятичной дроби. Тогда все числа интервала (0, 1) будут единственным образом записываться в виде

0, a₁ a₂ a₃ ...,

где не все a_i равны 0 и никогда все цифры, начиная с некоторой, не могут равняться 9. Обратно, всякая десятичная дробь дает число интервалов (0, 1).

     Легко видеть, что интервал (0, 1) есть бесконечное множество, т. к. он содержит множество

равномощное множеству натуральных чисел (см. теорему 5). Покажем, что (0, 1) не является счетным множеством.

-1-2-3-4-5-6-7-8-