Пример 1. Пусть y = sin x. За область определения функции можно принять множество действительных чисел. Тогда областью значений функции будет отрезок [-1, +1].

     Пример 2. Пусть y = tg x. За область определения функции можно принять множество действительных чисел, отличных от чисел вида , где n пробегает все целые значения (т. к. для этих значений x функция не определена). Тогда областью значений функции будет множество всех действительных чисел.

     Пример 3. Функция Дирихле:

     Область определения здесь - множество действительных чисел, область значений - множество {0, 1} из двух элементов.

     Замечательно, что гениальный русский математик Н. И. Лобачевский более ста лет назад дал определение функции, весьма близкое к приведенному. В противовес господствовавшему тогда взгляду на функцию как на аналитическое выражение (т. е. как на формулу) он подчеркивал значение идеи соответствия в определении понятия функции.

     "Это общее понятие, - писал Лобачевский о понятии функции, - требует, чтобы функцией от x называть число, которое дается для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением или условием, которое подает средство испытать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной".

     Весьма близким к понятию функции является понятие отображения.

     Определение. Пусть даны два множества X и Y. Такое соответствие, при котором каждому элементу соответствует (единственный) элемент , называется отображением множества X в множество Y; в частности, если каждый элемент соответствует по крайней мере одному элементу , то такое соответствие называется отображением X на Y.

     Если элементу x соответствует y, то y называется образом элемента x, а x - прообразом элемента y. Пишут: или y = f(x). Множество A всех элементов , имеющих один и тот же образ , называется полным прообразом элемента y.

-1-2-3-4-5-