Ортогональные и унитарные операторы

1. Пусть L - линейное пространство со скалярным произведением g. Множество всех изометрий , т. е. обратимых линейных операторов с условием

g(f(l₁), f(l₂)) = g(l₁, l₂)

для всех , очевидно, образует группу. Если L - евклидово пространство, такие операторы называются ортогональными, а если L унитарно, то унитарными. Симплектические изометрии будут рассмотрены позже.

2. Предложение. Пусть L - конечномерное линейное пространство с невырожденным скалярным произведением ( , ), симметричным или эрмитовым. Для того чтобы оператор был изометрией, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось любое из следующих условий:

а) (f(l), f(l)) = (l, l) для всех (здесь предполагается, что характеристика поля скаляров отлична от двух);

б) пусть {e₁, ..., e_n} - базис в L с матрицей Грама G, A - матрица оператора f в этом базисе. Тогда

, или ;

в) f переводит некоторый ортонормированный базис в ортонормированный базис;

-1-2-3-4-5-6-7-