Аффинная и проективная геометрия / Аффинные пространства, аффинные отображения и аффинные координаты / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Аффинные пространства, аффинные отображения и аффинные координаты
1. Определение. Аффинным пространством над полем  называется тройка (A, L, +), состоящая из линейного пространства L над полем  , множества A, элементы которого называются точками, и внешней бинарной операции       , удовлетворяющей следующим аксиомам:
а) (a + l) + m = a + (l + m) для всех     ;
б) a + 0 = a для всех  ;
в) для любых двух точек  существует единственный вектор  со свойством b = a + l.
2. Пример. Тройка (L, L, +), где L - линейное пространство, а + совпадает со сложением в L, является аффинным пространством. Удобно говорить, что она задает аффинную структуру линейного пространства L.
3. Термины. Часто будем называть аффинным пространством пару (A, L) или даже просто A, опуская указания на +. Линейное пространство L называется ассоциированным с аффинным пространством A. Отображение     называется сдвигом на вектор l; удобно иметь для него специальное обозначение tl. Мы пишем a - l вместо t-l(a) или a + (-l).
4. Предложение. Отображение  определяет инъективный гомоморфизм аддитивной группы пространства L в группу перестановок точек аффинного пространства A, т. е. эффективное действие L на A. Это действие транзитивно, т. е. для любой пары точек,  существует  с tl(a) = b.
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-
|