решения некоторых задач

     5°. Переходим теперь к обоснованию формулы замены переменных (4) для совершенно произвольного преобразования y = ψ(x), удовлетворяющего условиям теоремы 1.

     Следует подчеркнуть, что при выполнении условий теоремы 1 существуют оба интеграла, стоящие в левой и правой частях (4), так что нам следует доказать только равенство этих интегралов.

     Договоримся обозначать символом J_if(x) элементы матрицы Якоби (i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., n), взятые в точке x = (x₁, x₂, ..., x_n).

     Саму матрицу Якоби будем обозначать символом J_ψ (x).

     Удобно ввести понятия нормы точки x = (x₁, x₂, ..., x_n) и нормы матрицы (i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., n).

     Нормой точки x = (x₁, x₂, ..., x_n) назовем число, обозначаемое символом и равное .

     Нормой матрицы назовем число, обозначаемое символом и равное .

     Заметим, что при таком определении норм точки и матрицы из равенства y = Ax вытекает, что

     (25)

     Кроме того, легко проверить, что для единичной матрицы E справедливо равенство .

     Лемма 5. Если выполнены условия теоремы 1 и если C - n-мерный куб, принадлежащий области D', то n-мерные объемы куба C и его образа ψ(C) связаны неравенством

     (26)

     Доказательство леммы 5. Пусть C - n-мерный куб с центром в точке и с ребром 2s. Тогда куб C можно определить неравенством

     (27)

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-