решения некоторых задач

     Сначала для каждого номера i, для которого отличен от нуля элемент a_i(k+1), произведем последовательно пару преобразований (для тех i, для которых a_i(k+1) = 0, соответствующую пару преобразований не производим). Суперпозиция всех указанных пар преобразований приводит последовательность (19) к виду

(a₁₁x₁ + ... + a_1(k+1)x_k+1, ..., a_k1x₁ + ... + a_k(k+1)x_k+1, x_k+1, x_k+2, ..., x_n).     (21)

     Далее заметим, что поскольку минор (18) отличен от нуля, то отличен от нуля и равный ему определитель

     (22)

     Но тогда найдутся такие вещественные числа λ₁, ..., λ_k, λ_k+1, что линейная комбинация строк определителя (22) с этими числами равна^*

a_(k+1)1, ..., a_(k+1)k, a_(k+1)(k+1).     (23)

     Это означает, что если для каждого номера j = 1, 2, ..., k+1, для которого λ_j ≠ 0, произведем последовательно пару преобразований (для тех j, для которых λ_j = 0, соответствующую пару преобразований не производим), то суперпозиция всех произведенных пар преобразований переведет последовательность (21) в (20). Тем самым индукция завершена, и лемма 3 доказана.

     4°. Лемма 4. Для произвольного линейного невырожденного преобразования (7) при условии существования интеграла, стоящего в левой части (9), справедлива формула замены переменных (9).

     Для доказательства леммы 4 достаточно заметить, что формула (9) справедлива для каждого из преобразований типа и T_ij (лемма 2) и что произвольное линейное невырожденное преобразование (7) представимо в виде суперпозиции конечного числа преобразований типа и T_ij (лемма 3), причем при суперпозиции линейных преобразований происходит перемножение соответствующих якобианов (лемма 1).

     Следствие из леммы 4. Если G - произвольная кубируемая область в пространстве Eⁿ, T - произвольное невырожденное линейное преобразование, то n-мерный объем V(G) области G и n-мерный объем V(TG) образа TG этой области связаны равенством

V(TG) = |det T| · V(G).     (24)

     Для доказательства достаточно положить в равенстве (9) f ≡ 1, D = TG и учесть, что при этом T ^-1D = G.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-

^*   Для доказательства этого достаточно добавить к матрице определителя (22) строку (23) и применить теорему о базисном миноре.