решения некоторых задач

     3°. Лемма 3. Всякое невырожденное линейное преобразование T представимо в виде суперпозиции конечного числа линейных преобразований типа и T_ij.

     Доказательство леммы 3. Прежде всего проверим, что линейное преобразование T', заключающееся в перестановке каких-либо двух координат, представимо в виде суперпозиции шести преобразований типа и T_ij. В самом деле, пусть T' заключается в обмене местами i-й и j-й координат (остальные координаты при этом не изменяются). Тогда легко проверить, что^*

     (17)

     Заметим теперь, что совершенно произвольное линейное невырожденное преобразование T путем конечного числа перестановок двух строк и двух столбцов можно привести к линейному преобразованию (7) с матрицей , у которой отличны от нуля все так называемые главные миноры, т. е. все определители

     (18)

     Остается доказать, что последнее линейное преобразование представимо в виде суперпозиции конечного числа преобразований типа и T_ij.

     Докажем это по индукции.

     Так как Δ₁ = a₁₁ ≠ 0, то с помощью преобразования получим (x₁, x₂, ..., x_n) → (a₁₁x₁, x₂, ..., x_n).

     Предположим теперь, что путем суперпозиции конечного числа преобразований типа и T_ij нам удалось привести исходную последовательность координат (x₁, x₂, ..., x_n) к виду

(a₁₁x₁ + ... + a_1kx_k, ..., a_k1x₁ + ... + a_kkx_k, x_k+1, ..., x_n).     (19)

     Для завершения индукции достаточно доказать, что путем суперпозиции конечного числа преобразований типа и T_ij можно привести последовательность координат (19) к виду

(a₁₁x₁ + ... + a_1(k+1)x_k+1, ..., a_k1x₁ + ... + a_k(k+1)x_k+1, a_(k+1)1x₁ + ... + a_(k+1)(k+1)x_k+1, x_k+2, ..., x_n).     (20)

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-

^*   В самом деле, сохраняя при записи только i-ю и j-ю координаты, получим, произведя цепочку преобразований (17): (x_i, x_j) → (x_i + x_j, x_j) → (-x_i - x_j, x_j) → (-x_i - x_j, -x_i) → (-x_i - x_j, x_i) → ( -x_j, x_i) → ( x_j, x_i).