решения некоторых задач

     Основной целью настоящего пункта и следующих двух пунктов является доказательство того, что для произвольного линейного невырожденного преобразования (7) справедлива формула замены переменной (4). В силу соотношения (8), достаточно доказать, что для любого линейного невырожденного преобразования y = Tx справедлива формула

     (9)

(при условии, что существует интеграл в левой части этой формулы).

     В настоящем пункте мы докажем, что формула (9) справедлива для двух специальных типов линейных преобразований: 1) линейного преобразования , заключающегося в том, что i-я координата умножается на вещественное число λ ≠ 0, а все остальные координаты не изменяются^*, и 2) линейного преобразования T_ij, заключающегося в том, что к i-й координате добавляется j-я координата, а все координаты, кроме i-й, не изменяются^**.

     Лемма 2. Если функция f(y) интегрируема в области D, то для каждого из преобразований и T_ij справедлива формула замены переменных (9).

     Доказательство леммы 2. Обозначим через R n-мерный прямоугольный параллелепипед, содержащий область D, а через F - функцию, равную f в области D и равную нулю в R - D. Достаточно доказать, что для каждого из преобразований и T_ij справедлива формула

     (10)

в которой символом T обозначено одно из преобразований или T_ij.

     Элементарный подсчет показывает, что

     (11)

     Кроме того, очевидно, что если R - прямоугольный параллелепипед a_k ≤ y_k ≤ b_k (k = 1, 2, ..., n), то представляет собой прямоугольный параллелепипед

a_k ≤ x_k ≤ b_k     при     k ≠ i,          (12)

а [T_ij]^-1R представляет собой заведомо кубируемую область

a_k ≤ x_k ≤ b_k     при     k ≠ i,     a_i - x_j ≤ x_i ≤ b_i - x_j.     (13)

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-

^*   Символически это преобразование можно записать так: (x₁, x₂, ..., x_n) → (x₁, ..., x_i-1, λx_i, x_i+1, ..., x_n).
^** Символически это преобразование можно записать так: (x₁, x₂, ..., x_n) → (x₁, ..., x_i-1, x_i + x_j, x_i+1, ..., x_n).