решения некоторых задач

     Доказательство леммы 1. Элемент, стоящий на пересечении i-й строки и k-го столбца якобиана равен , причем указанная частная производная берется в точке . По правилу дифференцирования сложной функции, этот элемент равен

     (6)

причем в правой части (6) все частные производные берутся в точке , а все частные производные - в соответствующей точке .

     Из справедливых при любых i = 1, 2, ..., n и k = 1, 2, ..., n равенств (6) и из теоремы об определителе произведения двух матриц непосредственно вытекает формула (5).

     Лемма 1 доказана.

     2°. Прежде чем формулировать следующую лемму, напомним определение линейного преобразования координат.

     Линейным преобразованием называется преобразование вида

     (7)

в котором a_ik (i = 1, 2, ..., n; k = 1, 2, ..., n) произвольные постоянные числа.

     Кратко линейное преобразование (7) будем обозначать символом y = Tx, понимая под x и y точки x = (x₁, x₂, ..., x_n) и y = (y₁, y₂, ..., y_n) пространства Eⁿ, а под T - матрицу (i = 1, 2, ..., n; k = 1, 2, ..., n).

     Матрицу T обычно называют матрицей линейного преобразования.

     Если определитель матрицы линейного преобразования det T отличен от нуля, то линейное преобразование y = Tx называется невырожденным. Для такого преобразования в силу теоремы Крамера уравнения (7) можно разрешить относительно x₁, x₂, ..., x_n и утверждать существование обратного преобразования x = T^-1y, которое также является линейным и невырожденным.

     Заметим еще, что для линейного преобразования (7) якобиан совпадает с определителем матрицы T указанного преобразования, т. е.

     (8)

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-