решения некоторых задач

     В подробной записи формула (4) имеет следующий вид:

     (4')

     Теорема 1. Если преобразование (2) переводит область D' в D и является взаимно однозначным и если функции (2) имеют в области D' непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля якобиан (3)^*, то при условии существования интеграла (1) справедлива формула замены переменных (4').

     Доказательство теоремы 1 не является элементарным. Основная идея приводимого доказательства состоит в том, что сначала даем обоснование формулы (4) для случая, когда преобразование (2) является линейным, а затем сводим к этому случаю общее преобразование (2).

     Ради удобства, будем подразделять доказательство теоремы 1 на отдельные пункты.

     Доказательство теоремы 1.

     1°. Лемма 1. Если преобразование z = ψ(x) является суперпозицией (или, как обычно говорят, произведением) двух преобразований y = ψ₁(x) и z = ψ₂(x), то якобиан , взятый в любой точке , равен произведению якобианов и , взятых соответственно в точках и , где , т. е.

     (5)

     В подробной записи формула (5) выглядит так:

     (5')

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-

^*   Заметим, что при выполнении условий теоремы 1 уравнения (2) можно разрешить относительно x₁, x₂, ..., x_n, причем полученное на этом пути обратное преобразование x = ψ^-1(y) будет иметь в области D непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля якобиан .