Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
|
Формулы / Интегральное исчисление / Двойные и n-кратные интегралы / Замена переменных в n-кратном интеграле / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Замечание 2. Поскольку интеграл
равен n-мерному объему V(D) области D, то величину dy1dy2 ... dyn естественно назвать элементом объема в рассматриваемой декартовой системе координат Oy1y2 ... yn. С помощью преобразования (2) переходим от декартовых координат y1, y2, ..., yn к новым, вообще говоря, криволинейным координатам x1, x2, ..., xn. Поскольку при таком переходе (согласно формуле замены переменных (4)) интеграл (39) преобразуется в
то величину
естественно назвать элементом объема в криволинейной системе координат x1, x2, ..., xn. Стало быть, модуль якобиана характеризует "растяжение" (или "сжатие") объема при переходе от декартовых координат y1, y2, ..., yn к криволинейным координатам x1, x2, ..., xn. Подсчитаем элемент объема в сферических и цилиндрических координатах. 1°. Для сферических координат (в трехмерном пространстве)
Якобиан имеет вид
Стало быть, элемент объема равен r2sin θ drdθdφ. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14- |
(39)
