решения некоторых задач

     Таким образом, в пределе при h → 0 получим из (35) неравенство

     (36)

     В проведенных рассуждениях можно поменять ролями области D и D' и вместо функции f(y) в области D рассмотреть функцию g(x) = f[ψ(x)] · | det J_ψ(x)| в области D'. При этом, используя лемму 1 и теорему об определителе произведения двух матриц, получим противоположное неравенство

     (37)

     Из (36) и (37) вытекает формула замены переменных (4). Лемма 7 доказана.

     8°. Остается завершить доказательство теоремы 1, т. е. избавиться от наложенного в лемме 7 дополнительного требования неотрицательности функции f(y).

     Пусть f(y) - совершенно произвольная интегрируемая по области D функция, число M - точная верхняя грань функции |f(y)| в области D^*.

     В силу леммы 7 для каждой из неотрицательных функций f₁(y) ≡ M и f₂(y) = M - f(y) справедлива формула замены переменных (4).

     Но тогда из линейного свойства интеграла вытекает справедливость формулы (4) и для разности f₁(y) - f₂(y) = f(y). Теорема 1 полностью доказана.

     Замечание 1. В условиях теоремы 1 можно допустить обращение в нуль якобиана (3) на некотором принадлежащем D' множестве точек S, имеющем n-мерный объем нуль. В самом деле, множество S лежит внутри элементарной фигуры C как угодно малой площади, причем, согласно доказанному выше, справедлива формула

     (38)

     Осуществляя в формуле (38) предельный переход по последовательности элементарных фигур {C_k}, n-мерный объем V(C_k) которых стремится к нулю, мы убедимся в справедливости формулы (4) и для рассматриваемого случая.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-

^*   Напомним, что из интегрируемости f(y) в области D вытекает ограниченность f(y) в D и существование точных граней.