решения некоторых задач

     Поскольку элементы матрицы Якоби J_ψ(x) являются непрерывными функциями точки x по всей области D' и тем более в G и произведение [J_ψ(x)] ^-1 · J_ψ(x) представляет собой единичную матрицу, норма которой равна единице, то

     Но тогда из утверждения следует, что предел при h → 0 всей правой части (33) существует и равен .

     Из того же утверждения следует, что , так что в пределе при h → 0 получим из (33) неравенство (29). Лемма 6 доказана.

     7°. Лемма 7. Пусть выполнены все условия теоремы 1 и, кроме того, дополнительно предполагается, что функция f(y) неотрицательна в области D. Тогда справедлива формула замены переменных (4).

     Доказательство леммы 7. Покроем пространство Eⁿ сеткой n-мерных кубов с ребром h, и пусть C₁, C₂, ..., C_n(h) - те из этих кубов, которые целиком содержатся в области D. Пусть далее G_i = ψ ^-1(C_i). Записывая для каждой области G_i неравенство (29), будем иметь

     (34)

     Пусть теперь m_i - точная нижняя грань функции f(y) на кубе C_i (или, что то же самое, точная нижняя грань функции f[ψ(x)] в G_i). Умножая обе части (34) на m_i и суммируя по всем i от 1 до n(h), будем иметь

     (35)

     В силу утверждения левая часть (35) имеет предел при h → 0, равный . Поскольку сумма всех областей G_i содержится в D' ^* и функция f неотрицательна, правая часть (35) при любом h > 0 не превосходит интеграла

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-

^*   В силу того, что содержится в D, D' = ψ ^-1(D), G_i = ψ ^-1(C_i).