решения некоторых задач

Замена переменных в n-кратном интеграле

     Целью настоящего параграфа является обоснование формулы замены переменных в n-кратном интеграле.

     Устанавливаемая формула является одним из важнейших средств вычисления n-кратного интеграла.

     Предположим, что функция f(y₁, y₂, ..., y_n) допускает существование n-кратного интеграла

     (1)

по некоторой ограниченной замкнутой кубируемой области D в пространстве переменных y₁, y₂, ..., y_n. Предположим далее, что от переменных y₁, y₂, ..., y_n мы переходим к новым переменным x₁, x₂, ..., x_n, т. е. совершаем преобразование

     (2)

     Кратко преобразование (2) будем обозначать символом

y = ψ(x),

понимая под x и y точки n-мерного пространства x = (x₁, x₂, ..., x_n), y = (y₁, y₂, ..., y_n), а под символом ψ - совокупности n функции ψ₁, ψ₂, ..., ψ_n.

     Обозначим символом D' ту область в пространстве переменных x₁, x₂, ..., x_n, которая при преобразовании (2) переходит в D, т. е. положим, что D = ψ(D')^*.

     Докажем, что если функции (2) имеют в области D' непрерывные частные производные первого порядка и если якобиан

     (3)

отличен в области D' от нуля, то для интеграла (1) справедлива следующая формула замены переменных:

     (4)

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-

^*   При этом предполагаем, что преобразование (2) допускает обратное и что D' = ψ^-1(D).