Сравнивая определение подобия с определением равномощности, убеждаемся, что первое включает второе, т. е. верна следующая

     Теорема 3. Подобные множества равномощны; из следует A ~ B.

     Обратное утверждение не верно. Так, множества (1) и (2) равномощны (даже просто равны как неупорядоченные множества), но не подобны, так как множество (1) имеет первый элемент, а множество (2) - не имеет, тогда как при соответствии подобия первому элементу одного множества должен соответствовать первый элемент другого. Тем не менее для конечных множеств теорема, обратная теореме 3, также верна. А именно:

     Теорема 4. Если конечные, упорядоченные множества равномощны, то они подобны.

     Эта теорема ввиду свойств 1) - 3) подобия является непосредственным следствием приведенной ниже теоремы 7. Для любых множеств в известной мере обратной теореме 3 является следующая теорема:

     Теорема 5. Любое множество A, равномощное упорядоченному множеству B, само можно упорядочить, т. е. определить для его элементов отношение порядка, обладающее свойствами 1) и 2), и притом так, что полученное упорядоченное множество подобно B.

     Доказательство. Если a₁ и a₂ - любые элементы множества A, b₁ и b₂ - соответствующие им, при взаимно однозначном отображении A и B, элементы B, и b₁ < b₂, то положим a₁ < a₂. Легко проверить, что определенное как отношение порядка в A обладает свойствами 1) и 2) и, очевидно, A подобно B.

     Теорема 6. Любое конечное упорядоченное множество A содержит первый и последний элемент (если только A не пусто).

     Доказательство. Пусть A не имеет последнего элемента. Берем любой элемент . Так как он не последний, то существует такой, что a₁ < a₂; так как a₂ - не последний, то существует такой, что a₂ < a₃. Если элемент a_n построен, то существует такой, что a_n < a_n+1. По индукции элемент a_n построен для любого n.

Пусть

N' = {a₁, a₂, a₃, ...}

-1-2-3-4-