Элемент, не имеющий предшествующего, называется первым, а элемент, не имеющий следующего, - последним. Элементы a и b называются соседними, если не существует c, для которого a < c < b или b < c < a. Если a и b - соседние и a < b, то говорят, что a непосредственно предшествует b, а b непосредственно следует за a. Упорядоченное множество (1) имеет первый элемен и не имеет последнего, множество (2), наоборот, имеет последний элемент, но не имеет первого, множество (4) имеет как первый элемент, так и последний, а множество (5) - ни первого элемента, ни последнего, множество (3) содержит два элемента, не имеющих непосредственно предшествующего, множество (6) - два элемента, не имеющих непосредственно следующего. Во всех этих множествах каждый элемент имеет соседний. Множество рациональных чисел, расположенных по возрастанию, не имеет соседних элементов, так как между любыми числами a и b лежит число .

     Если a = b или a < b, то пишут: ; если a = b или a > b, то пишут: . Из определения 1 легко вытекает справедливость следующих двух теорем:

     Теорема 1. Если и , то a = b.

     Теорема 2. Если и , то . Если и , то . При этом, если хотя бы в одном из данных неравенств имеется строгое неравенство, то и в полученном неравенстве будет строгое неравенство.

     Определение 2. Два упорядоченных множества A и B называются подобными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок элементов, т. е. такое, что из

и a₁ < a₂

следует b₁ < b₂.

     Из определения 2 следует, что все множества, содержащие лишь один элемент, подобны и пустое множество подобно лишь самому себе. О подобных множествах говорят, что они имеют один и тот же тип. Отношение подобия обозначается так: .

     Отношение подобия обладает следующими тремя свойствами:

     1) Рефлексивность:
     2) Симметрия: если , то .
     3) Транзитивность: если и , то .

-1-2-3-4-