Контравариантный вектор - совокупность упорядоченных систем n чисел, сопоставленных каждому базису данного пространства таким образом, что переход от системы, сопоставленной одному базису, к системе, сопоставленной другому базису, происходит по закону или

     С этой точки зрения координаты вектора образуют контравариантный вектор. Слово "контравариантный" означает "измениющийся в обратном направлении" (здесь учтено, что при переходе от одного базиса к другому векторы и их координаты соответственно преобразуются с помощью обратных матриц).

     Ковариантный вектор - совокупность упорядоченных систем n чисел, сопоставленных каждому базису данного пространства таким образом, что переход от системы, сопоставленной одному базису, к системе, сопоставленной другому базису, происходит по закону или Слово "ковариантный" означает "изменяющийся так же" (здесь учтено, что законы преобразования рассматриваемых систем чисел совпадают с законами преобразования базисных векторов). Примером ковариантного вектора служат коэффициенты линейной формы: если то

     Если и - контравариантные векторы, то:

     Если и - ковариантные векторы, то:

     Если - контравариантный, а - ковариантный вектор, то:

     Если - компоненты p контравариантныx векторов, - компоненты q ковариантных векторов (p + q = r), то совокупность n^r чисел, являющихся произведениями компонент этих векторов, при переходе от одного базиса к другому преобразуется по закону

-1-2-3-