Рассмотрим треугольник и точку C. Из точки C стороны треугольника видны под углами φ₁, φ₂, φ₃, для которых либо один равен сумме двух других (например, φ₃ = φ₁ + φ₂), либо φ₁ + φ₂ + φ₃ = 2π. В обоих случаях из этих соотношений между углами следует, что

cos²φ₁ + cos²φ₂ + cos²φ₃ - 2cosφ₁cosφ₂cosφ₃ - 1 = 0.

Подставляя сюда значения косинусов, вычисленных из треугольников с помощью теоремы косинусов, получим после упрощений

m²x⁴ + {m⁴ - 2[m²(a² + b² + c² + d²) - 8abcd]}x² + m²[a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ - 2(a² + c²)(b² + d²) - 2(a²c² + b²d²) + 8abcd] - 16(ac - bd)(ad - bc)(ab - cd) = 0.

где x = AC.

     Если исходить из треугольника и точки D, то получим точно такое же биквадратное уравнение относительно y = BD. Два эллипса и две гиперболы определяют четыре четырехугольника, из которых имеются только два различных (заметим, что в наших рассуждениях участвуют только правые ветви гипербол g₁ и g₂). Поэтому два корня выписанного выше уравнения относительно x соответствуют диагоналям AC и AC₁ четырехугольников ABCD и ABC₁D₁. Точно так же BD и BD₁ равны двум корням уравнения с неизвестным y. Поэтому либо AC = BD, либо AC = BD₁. Из свойств симметрии следует, что диагонали одного четырехугольника меньше соответствующих диагоналей другого четырехугольника, т. е. AC < AC₁, BD < BD₁, и поэтому AC + BD < AC₁ + BD₁. Если допустить, что AC = BD₁, то BD = AC₁ и AC + BD = AC₁ + BD₁, что противоречит предыдущему неравенству. Следовательно, равенство AC = BD₁ необходимо отвергнуть и остается, что AC = BD, что и требовалось доказать.

     Аналогичным свойством обладают диагонали криволинейного четырехугольника, образованного двумя парами софокусных парабол.

-1-2-3-4-5-6-