Софокусные эллипс и гипербола пересекаются ортогонально, т. е. касательные к кривым в их общей точке перпендикулярны. В самом деле, касательная к эллипсу делит внешний угол между фокальными радиусами пополам, а касательная к гиперболе делит внутренний угол между теми же фокальными радиусами пополам. Эти две биссектрисы перпендикулярны, так как делят смежные углы пополам.

     Софокусные параболы с противоположно направленными осями пересекаются также ортогонально, в чем легко убедиться аналогичным рассуждением.

     Софокусные эллипсы и гиперболы образуют на плоскости ортогональную сеть (см. Рис. 4, а), так как через каждую точку плоскости, кроме точек общих осей, проходит один эллипс и одна гипербола и в этой точке обе кривые пересекаются ортогонально. Четырехугольники, которые образуются в результате пересечения двух эллипсов и двух гипербол, имеют прямые углы и могут быть рассмотрены как криволинейные прямоугольники. Аналогичным образом оба семейства софокусных парабол определяют на плоскости ортогональную сеть (см. Рис. 4, б).

     Докажем еще следующую замечательную теорему: расстояния между противолежащими вершинами криволинейного четырехугольника ортогональной сети, образованной софокусными эллипсами и гиперболами, равны, т. е. сеть софокусных эллипсов и гипербол равнодиагональна.

-1-2-3-4-5-6-