Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
|
Формулы / Интегральное исчисление / Двойные и n-кратные интегралы / Сведение двойного интеграла к повторному однократному / 1 2 3 4
Случай произвольной области Теорема 7. Пусть выполнены следующие условия: 1) область D ограничена, замкнута и такова, что любая прямая, параллельная оси Oy, пересекает границу этой области не более чем в двух точках, ординаты которых суть y1(x) и y2(x), где y1(x) ≤ y2(x) (см. Рис. 1); 2) функция f(x, y) допускает существование двойного интеграла
и существование для любого x однократного интеграла
При этих условиях существует повторный интеграл
(x1 и x2 - наименьшая и наибольшая абсциссы точек области D) и справедливо равенство
Доказательство. Обозначим через R прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, содержащий область D, а через F(x, y) - функцию, совпадающую с f(x, y) в точках области D и равную нулю в остальных точках R. Для функции F(x, y) в прямоугольнике R выполнены все условия теоремы 7, и, стало быть, справедлива формула (13), которая (с учетом того, что F(x, y) равна нулю вне D и совпадает с f(x, y) в D) переходит в формулу (19). Теорема доказана. |
(19)
