Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
|
Формулы / Интегральное исчисление / Двойные и n-кратные интегралы / Сведение двойного интеграла к повторному однократному / 1 2 3 4
Суммируя (15) по всем l от 1 до p и используя обозначение (12), будем иметь
Далее умножим (16) на Δxk и просуммируем по всем k от 1 до n. Получим
Пусть наибольший диаметр Δ частичных прямоугольников стремится к нулю. Тогда и наибольшая из длин Δxk стремится к нулю. Обрамляющие члены в (17), представляющие собой нижнюю и вернюю суммы, стремятся при этом к двойному интегралу Стало быть, существует предел и среднего члена в (17), равный тому же самому двойному интегралу. Но этот предел по определению однократного интеграла равен
Тем самым доказано существование повторного интеграла и равенство (13). Теорема доказана. Замечание. В теореме 6 можно поменять x и y ролями, т. е. моно предположить существование двойного интеграла и существование для любого y из сегмента c ≤ y ≤ d однократного интеграла
Тогда теорема будет утвердать существование повторного интеграла
и равенство
|
(16)
(17)
.
(18)