решения некоторых задач

Сведение двойного интеграла к повторному однократному

     Излагаемое далее сведение двойного интеграла к повторному однократному является одним из эффективных способов вычисления двойного интеграла.

     1. Случай прямоугольника

     Теорема 6. Пусть для функции f(x, y) в прямоугольнике R = [a ≤ x ≤ b] × [c ≤ y ≤ d] существует двойной интеграл .

     Пусть далее для каждого x из сегмента a ≤ x ≤ b существует однократный интеграл

     (12)

Тогда существует повторный интеграл

и справедливо равенство

     (13)

     Доказательство. Разобъем прямоугольник R с помощью точек a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n = b и c = y₀ < y₁ < y₂ < ... < y_p = d на n · p частичных прямоугольников

R_kl = [x_k-1 ≤ x ≤ x_k] × [y_l-1 ≤ y ≤ y_l]
(k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p).

Положим Δx_k = x_k - x_k-1, Δy_l = y_l - y_l-1 и обозначим через M_kl и m_kl точные грани функции f(x, y) на частичном прямоугольнике R_kl. Тогда всюду на этом прямоугольнике

m_kl ≤ f(x, y) ≤ M_kl.     (14)

     Положим в этом неравенстве x = ξ_k, где ξ_k - произвольная точка сегмента [x_k-1, x_k], и после этого проинтегрируем (14) по y в пределах y_l-1 до y_l. Получим

     (15)

решения некоторых задач

-1-2-3-4-