Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
|
Примеры решения задач / Интегральное исчисление / Верхние и нижние суммы / 1 2 3 4 5
Обозначим через p число точек разбиения T*, лежащих строго внутри сегмента [a, b]. Пусть T - любое разбиение сегмента [a, b], максимальная длина Δ частичных сегментов которого подчинена условию
и S - верхняя сумма этого разбиения. Добавим к этому разбиению внутренние точки разбиения T*. В результате получим разбиение T', верхняя сумма S' которого в силу свойства 5° и условия (2) для Δ удовлетворяет неравенству 0 ≤ S - S' ≤ (M - m)pΔ < ε/2. (3) С другой стороны, это разбиение T' можно рассматривать как разбиение, полученное в результате добавления к разбиению T* внутренних точек разбиения T. Поэтому, в силу свойства 2°,
Отсюда следует, что
Складывая это неравенство с неравенством (3), получим
Таким образом, установили, что для любого данного ε > 0 можно указать такое δ > 0 (можно, например, положить |
(2)
, т. е., согласно неравенству (1),
(4)
), что верхние суммы S разбиений T сегмента [a, b], для которых максимальная длина Δ (см. (2)), удовлетворяют неравенству (4). Но это означает, что верхний интеграл 
Дарбу является пределом верхних сумм. Для нижних сумм доказательство аналогично. Лемма Дарбу доказана.