5°. Пусть разбиение T' сегмента [a, b] получено из разбиения T добавлением к последнему p новых точек, и пусть s', S' и s, S - соответственно нижние и верхние суммы разбиений T' и T. Тогда для разностей S - S' и s' - s¹⁾ может быть получена оценка, зависящая от максимальной длины Δ частичных сегментов разбиения T, числа p добавленных точек и точных верхней и нижней граней M и m функции f(x) на сегменте [a, b]. Именно,

S - S' ≤ (M - m)pΔ,     s' - s ≤ (M - m)pΔ.

Для того чтобы убедиться в справедливости этого свойства, достаточно доказать приведенные неравенства для случая, когда к разбиению T добавляется одна точка x'. Пусть эта точка находится на сегменте [x_i-1, x_i] разбиения T. Тогда этот сегмент разделится на два сегмента [x_i-1, x'] и [x', x_i], длины которых обозначим соответственно через и . Пусть M_i, и - соответственно точные верхние грани функции f(x) на сегментах [x_i-1, x_i], [x_i-1, x'] и [x', x_i]. Так как и верхние суммы S и S' разбиений T и T' различаются лишь слагаемыми M_iΔx_i и , то . Далее, и ^*, поэтому и . Следовательно, . Поскольку Δx_i ≤ Δ, то S - S' ≤ (M - m)Δ. Это неравенство совпадает с первым из неравенств, приведенных в формулировке свойства 5°, при p = 1. Доказательство для нижних сумм проводится аналогично.

     6°. Лемма Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу от функции f(x) по сегменту [a, b] являются соответственно пределами²⁾ верхних и нижних сумм при Δ → 0.

     Доказательство. Докажем, например, что . Для случая M = m, т. е. для случая f(x) = c = const, лемма очевидна, поскольку . Будем поэтому считать, что M > m. Так как - точная нижняя грань множества верхних сумм, то для любого ε > 0 можно указать такое разбиение T^* сегмента [a, b], что верхняя сумма S^* этого разбиения будет отличаться от меньше, чем на ε/2:

     (1)

-1-2-3-4-5-

¹⁾   При доказательстве свойства 2° уже отмечалось, что точная верхняя грань функции на части сегмента не превосходит ее точной верхней грани на всем сегменте. Отметим также, что точная нижняя грань функции на всем сегменте не превосходит ее точной верхней грани на любой части этого сегмента.

²⁾   Понятие предела верхних или нижних сумм определяется в полной аналогии с понятием предела интегральных сумм. Именно, число называется пределом верхних сумм S при Δ → 0, если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное число δ, что при Δ < δ выполняется неравенство .