3°. Пусть T' и T" - любые два разбиения сегмента [a, b]. Тогда нижняя сумма одного из этих разбиений не превосходит верхнюю сумму другого. Именно, если s', S' и s", S" - соответственно нижние и верхние суммы разбиений T' и T", то

s' ≤ S",     s" ≤ S'.

Выше было установлено, что нижняя сумма данного разбиения не превосходит верхнюю сумму этого разбиения. Пусть T - разбиение сегмента [a, b], полученное объединением разбиений^* T' и T", а s и S - верхняя и нижняя суммы разбиения T. Так как разбиение T может быть получено из разбиения T' добавлением к нему точек разбиения T", то по свойству 2° и отмеченному свойству нижней и верхней суммы одного и того же разбиения имеем

s' ≤ s ≤ S ≤ S'.

Но разбиение T может быть также получено из разбиения T" добавлением к нему точек разбиения T'. Поэтому

s" ≤ s ≤ S ≤ S".

Сравнивая установленные выше неравенства с только что полученными, убедимся, что s' ≤ S", s" ≤ S'.

     Справедливость свойства 3° установлена.

     4°. Множество {S} верхних сумм данной функции f(x) для всевозможных разбиений сегмента [a, b] ограничено снизу. Множество {s} нижних сумм ограничено сверху.

     Это свойство непосредственно следует из свойства 3°. Действительно, любая верхняя сумма не меньше некоторой фиксированной нижней суммы, следовательно, множество {S} верхних сумм ограничено снизу. Любая нижняя сумма не превосходит какую-либо верхнюю сумму, и поэтому множество {s} нижних сумм ограничено сверху. Обозначим через точную нижнюю грань множества {S} верхних сумм, а через - точную верхнюю грань множества нижних сумм:

Числа и называются соответственно верхним и нижним интегралами Дарбу от функции f(x). Докажем, что . Пусть . Тогда разность есть положительное число, которое обозначим через ε, так что . Из определения точных граней и вытекает, что существуют числа S' и s", представляющие собой соответственно верхнюю и нижнюю суммы некоторых разбиений T' и T" сегмента [a, b], такие, что и . Вычитая второе неравенство из первого и учитывая, что , получим s" > S'. Но это последнее неравенство противоречит свойству 3° верхних и нижних сумм.

-1-2-3-4-5-

^*   При этом общие точки разбиений T' и T" учитываются один раз.