Примеры решения задач / Интегральное исчисление / Верхние и нижние суммы / 1 2 3 4 5
Свойства верхних и нижних сумм
Докажем справедливость следующих свойств верхних и нижних сумм:
1°. Для любого фиксированного разбиения T и для любого ε > 0 промежуточные точки ξi на сегментах [xi-1, xi] можно выбрать так, что интегральная сумма I{xi, ξi} будет удовлетворять неравенствам 0 ≤ S - I{xi, ξi} < ε. Точки ξi можно выбрать также и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам 0 ≤ I{xi, ξi} - s < ε.
Пусть T - некоторое фиксированное разбиение сегмента [a, b]. Докажем, например, возможность выбора по данному ε > 0 точек ξi так, что будет выполняться неравенство 0 ≤ S - I{xi, ξi} < ε. По определению точной грани Mi для данного ε > 0 на сегменте [xi-1, xi] можно указать такую точку ξi, что
0 ≤ Mi - f(ξi) < ε/(b - a), i = 1, 2, ..., n.
Умножая эти неравенства на Δxi и затем складывая, получим
0 ≤ S - I{xi, ξi} < ε.
Справедливость свойства 1° установлена.
2°. Если разбиение T' сегмента [a, b] получено путем добавления новых точек к точкам разбиения T этого сегмента, то верхняя сумма S' разбиения T' не больше верхней суммы S разбиения T, а нижняя сумма s' разбиения T' не меньше нижней суммы s разбиения T, т. е.
s ≤ s', S ≤ S'.
Так как разбиение T' может быть получено из разбиения T путем последовательного добавления к последнему новых точек, то, очевидно, сформулированное свойство достаточно доказать для случая, когда к разбиению T добавляется одна точка. Пусть эта точка x' располагается на сегменте [xi-1, xi] разбиения T сегмента [a, b]. Обозначим через и точные верхние грани функции f(x) на сегментах [xi-1, x'] и [x', xi], через и длины этих сегментов и через S и S' верхние суммы разбиения T и разбиения T', полученного добавлением к разбиению T точки x'. Отметим, что . Кроме того, если Mi - точная верхняя грань значений функции f(x) на сегменте [xi-1, xi], то и , поскольку очевидно, что точная верхняя грань функции на части сегмента [xi-1, xi] не превосходит точную верхнюю грань Mi этой функции на всем сегменте [xi-1, xi]. Поэтому, учитывая, что суммы S и S' различаются лишь слагаемыми MiΔxi и , получим
т. е. S' ≤ S. Доказательство для нижних сумм проводится аналогично.
-1-2-3-4-5-
|
|