Верхние и нижние суммы

     Понятие верхней и нижней сумм

     Пусть функция f(x) ограничена на сегменте [a, b] и T - разбиение этого сегмента точками a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b. Обозначим через M_i и m_i соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте [x_i-1, x_i]. Суммы

и

называются соответственно верхней и нижней суммами функции f(x) для данного разбиения T сегмента [a, b].

     Очевидно, что любая интегральная сумма I{x_i, ξ_i} данного разбиения T сегмента [a, b] заключена между верхней и нижней суммами S и s этого разбиения.

     Понятия верхней и нижней сумм становятся особенно ясными, если обратиться к геометрическим представлениям. Для простоты рассмотрим положительную и непрерывную функцию f(x) и криволинейную трапецию, определяемую этой функцией (см. Рис. 1. и Рис. 2.).

Если T - некоторое разбиение сегмента [a, b], то числа M_i и m_i представляют собой в случае непрерывной функции f(x) максимальное и минимальное значения этой функции на частичном сегменте [x_i-1, x_i] разбиения T. Поэтому верхняя сумма S равна площади, заштрихованной на Рис. 1. ступенчатой фигуры, которая содержит криволинейную трапецию, а нижняя сумма s равна площади, заштрихованной на Рис. 2. ступенчатой фигуры, которая содержится в криволинейной трапеции (эта трапеция на рисунках 1 и 2 обведена жирной линией).

     Как уже говорилось, из наглядных геометрических представлений вытекает, что интеграл численно равен площади криволинейной трапеции. С другой стороны, очевидно, что если разность между верхними и нижними суммами может быть сделана как угодно малой, то эти суммы могут стать как угодно близкими к площади криволинейной трапеции. Поэтому можно ожидать, что для интегрируемости функции необходимо и достаточно, чтобы разность между верхней и нижней суммами могла быть как угодно малой.

-1-2-3-4-5-