решения некоторых задач

     Теперь можем, наконец, вернуться к теореме 3. Пусть имеет место равенство (15), причем радиус сходимости R ряда, стоящего в правой части (15), положителен, R > 0. Дифференцируя этот ряд почленно, приходим к ряду (26), имеющему тот же радиус сходимости R. Обозначим сумму этого ряда через φ(x). По теореме 1 это есть функция, непрерывная в (-R, +R). Закрепим какую-либо точку z этого интервала и рассмотрим замкнутый промежуток^* [0, z].

     Этот промежуток содержится в (-R, +R) и (на основании теоремы 2) можно почленно проинтегрировать равенство

φ(x) = c₁ + 2c₂x + 3c₃x² + ...

по промежутку [0, z]. Таким образом,

     Сравнивая это равенство с (15), находим

     По теореме о дифференцировании определенного интеграла по верхнему пределу правая часть последнего равенства имеет производную, равную φ(z). Но тогда ту же производную имеет и его левая часть. Стало быть, f'(z) существует и f'(z) = φ(z). Заменяя букву z на x и вспоминая, что φ(x) есть сумма ряда (26), завершаем доказательство.

     Так как мы можем применить доказанную теорему и к продифференцированному ряду, а затем снова применить ее же и т. д., то справедлива

     Теорема 4. Степенной ряд можно дифференцировать почленно внутри его промежутка сходимости любое число раз.

     Эту же теорему можно формулировать и так: если ряд, стоящий в равенстве

f(x) = c₀ + c₁x + c₂x² + c₃x³ + ...,

имеет радиус сходимости R > 0, то f(x) имеет производные всех порядков, причем для всех будет

и все написанные здесь ряды имеют тот же радиус сходимости R.

решения некоторых задач

^*   Считаем z > 0. Если z < 0, то надо ввести промежуток [z, 0], а в остальном все рассуждения сохраняются, т. к. при перестановке пределов интегрирования интеграл меняет знак.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-