решения некоторых задач

     Это показывает, что в точке z сходится (даже абсолютно) ряд (18) и поэтому

z ≤ R.     (20)

     Здесь z подчинено единственному условию 0 < z < R'. Значит, можно устремить в (20) z к R' и перейти к пределу.

     Таким образом,

R' ≤ R.     (21)

     Это неравенство, установленное нами для R' > 0, очевидным образом справедливо и при R' = 0.

     Установим теперь, что

R ≤ R'.     (22)

     При этом можно предполагать, что R > 0, т. к. иначе неравенство (22) очевидно. Пусть 0 < z < R. Покажем, что ряд (19) абсолютно сходится в этой точке. С этой целью возьмем еще одну точку y, удовлетворяющую неравенствам z < y < R. Ряд (18) в этой точке сходится и потому его общий член стремится к нулю. Тем более этот общий член ограничен. Значит, существует такое постоянное число M, что при всех натуральных n будет

| c_nyⁿ | < M.     (23)

Заметив это, перепишем ряд

| c₁|z + 2| c₂|z² + 3| c₃|z³ + ...     (24)

так:

     В силу (23) члены этого последнего ряда меньше, чем соответствующие члены ряда

Mq + 2Mq² + 3Mq³ + ...,     (25)

где положено для краткости . По лемме 1 ряд (25) сходится, а потому сходится и ряд (24).

     Итак, действительно, ряд (19) сходится в точке z. Но тогда

z ≤ R',     

откуда, как и выше, переходя к пределу при z, стремящемся к R, и получаем равенство (22). Лемма доказана.

     Из этой леммы вытекает важное

     Следствие. Степенной ряд (9) и ряд

c₁ + 2c₂x + 3c₃x² + ...,     (26)

полученный из него почленным дифференцированием, имеют одинаковые радиусы^* сходимости.

     В самом деле, ряд (9) имеет тот же радиус сходимости, что и его остаток (18). Тот же радиус по лемме имеет и ряд (19), который получается из (26) умножением всех членов на x. Остается показать, что (19) и (26) имеют равные радиусы сходимости. Но у них даже и промежутки сходимости одинаковы. Действительно, если ряд (26) сходится при каком-либо x, то, умножая его члены на x, мы не нарушим сходимости; если же ряд (26) при каком-либо x расходится, то очевидно x ≠ 0, а тогда, умножая члены ряда (26) на это x, мы не сможем придти к сходящемуся ряду.

решения некоторых задач

^*   Не следует думать, что и промежутки сходимости этих рядов тождественны. Например, ряд имеет замкнутый промежуток сходимости [-1, +1], в то время как продифференцированный ряд в точке x = 1 расходится.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-