решения некоторых задач

     Отметим теперь, что S_n(x) есть обыкновенный алгебраический многочлен. Значит, это - функция непрерывная. Поэтому для нашего ε существует такое δ > 0, что, как только |x - x₀| < δ, так сейчас же

     (14)

     Если же |x - x₀| < δ и , то из (13) и (14) вытекает, что

|f(x) - f(x₀)| < ε.

Этим и доказана непрерывность f(x) в точке x₀.

     Теорема 2. Равенство

f(x) = c₀ + c₁x + c₂x² + c₃x³ + ...     (15)

можно почленно интегрировать по любому замкнутому промежутку [a, b], содержащемуся в открытом промежутке (-R, +R), где R - радиус сходимости ряда (9).

     Иными словами, утверждаем, что для всякого промежутка [a, b], у которого -R < a < b < R будет

     (16)

     Доказательство этой теоремы сходно с доказательством теоремы 1. Именно, как и выше, начинаем с того, что закрепляем точку X, удовлетворяющую неравенствам

-R < -X ≤ a < b ≤ X < R.

     Сохраняя введенные выше обозначения, попрежнему будем иметь, что при любом натуральном n и любом будет

     Поэтому при всех x из [ -X, X] и тем более при всех x из [a, b] будет

     В таком случае

или, что то же самое,

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-