решения некоторых задач

     Эта точка тоже содержится в открытом интервале (-R, +R), и потому наш ряд (9) абсолютно сходится в ней. Иными словами, сходится ряд

| c₀ | + | c₁ | X + | c₂ | X² + | c₃ | X³ + ...     (10)

     Теперь возьмем совершенно произвольную точку x из промежутка [-X, X] (в частности, это может быть и точка x₀) и составим ряд

c₀ + c₁x + c₂x² + c₃x³ + ...     (11)

     Пусть и R_n(x) суть суммы остатков (после n-го члена) рядов (10) и (11), т. е.

     Нетрудно видеть^*, что

     (12)

     Заметив это, возьмем произвольное ε > 0 и найдем столь большое n, чтобы оказалось

Такое n существует, т. к. сумма остатка сходящегося ряда (10) стремится к нулю.

     В силу (12) при этом n и при всех x из [-X, X] окажется

В частности, и . Положим, далее

S_n(x) = c₀ + c₁x + ... + c_nxⁿ.

Тогда

f(x) = S_n(x) + R_n(x),     f(x₀) = S_n(x₀) + R_n(x₀).

Значит,

|f(x) - f(x₀)| ≤ |S_n(x) - S_n(x₀)| + |R_n(x)| + |R_n(x₀)|,

и тем более

     (13)

Еще раз подчеркнем, что это неравенство доказано для всех x из [-X, X].

решения некоторых задач

^*   Можно доказать, что в случае сходимости ряда в одной из точек ±R функция f(x) остается непрерывной в этой точке, но здесь не будем останавливаться на этом.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-