Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
Конфорки ханса - купить конфорку remochka.ru.
|
Примеры решения задач / Ряды / Степенные ряды / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
Подводя итог нашему исследованию, можем сформулировать его в виде следующей теоремы. Теорема. Всякому ряду (1) отвечает такое неотрицательное число* R, что ряд абсолютно сходится в открытом промежутке (-R, +R) и расходится вне замкнутого промежутка [-R, +R]. К этой теореме надлежит сделать ряд добавочных замечаний: 1) Смысл теоремы состоит в том, что множество тех значений x, при которых сходится степенной ряд (1), всегда есть некоторый промежуток, симметричный относительно точки x = 0. Этот промежуток называется промежутком сходимости ряда. 2) Промежуток сходимости может вырождаться в точку x = 0, что имеет место при R = 0. Возможны также ряды (когда R = +∞), у которых промежутком сходимости служит вся числовая ось. 3) В теореме совершенно ничего не говорится о том, как ведет себя ряд на концах промежутка сходимости, т. е. в точках x = -R, x = +R. Как увидим далее, различные ряды в этих точках ведут себя по-разному, и потому никаких общих утверждений по этому поводу высказать нельзя. 4) Мы уже говорили, что ряд вида (2), т. е. расположенный по степеням x - a, приводится к виду (1) подстановкой x - a = x'. Поэтому все сказанное выше переносится и на ряды (2). Промежуток сходимости такого ряда будет симметричен относительно точки x = a и будет иметь концами точки a - R и a + R. Свойства суммы степенного ряда. Рассмотрим степенной ряд c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + ..., (9) радиус сходимости R которого отличен от нуля (случай R = +∞ мы не исключаем). Сумма этого ряда будет функцией аргумента x, определенной во всех точках промежутка сходимости. Обозначим эту функцию через f(x) и займемся изучением ее свойств. Теорема 1. Функция f(x) непрерывна во всех точках, лежащих внутри промежутка сходимости ряда. Подчеркнем, что, говоря о точках, лежащих внутри промежутка сходимости, мы исключаем его концы ±R, хотя ряд может сходиться и в этих точках. (Можно доказать, что в случае сходимости ряда в одной из точек ±R функция f(x) остается непрерывной в этой точке, но здесь останавливаться на этом не будем.) Переходя к доказательству, выберем какую-либо точку x0, лежащую внутри промежутка сходимости -R < x0 < R, и будем устанавливать непрерывность f(x) именно в этой точке. Для этой цели выберем и закрепим еще одну точку X, для которой выполняются неравенства -X < x0 < X, 0 < X < R. _____________________________________________________ * Это число называется радиусом сходимости ряда. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39- |
