решения некоторых задач

     Подобным же образом можно было бы получить еще ряд формальных соотношений, например выражения для S(3x) и т. д.

     Труднее устанавливается периодичность функций C(x) и S(x) и связанные с ней формулы приведения.

     Покажем прежде всего, что при 0 < x ≤ 2 будет

S(x) > 0.

     В самом деле, ведь

и все скобки здесь (при 0 ≤ x ≤ 2) положительны.

     Вспоминая, что C'(x) = -S(x), видим, что функция C(x) на промежутке [0, 2] строго убывает.

     С другой стороны, записывая C(2) в форме

и замечая, что все скобки здесь положительны и что

видим, что C(2) < 0. Отсюда и из (86) вытекает, что непрерывная функция C(x) в открытом промежутке (0, 2) имеет один и только один корень. Обозначим его через^* :

     (90)

     В силу (87) и (90) вытекает, что

     (91)

т. к. в (0, 2] функция S(x) положительна.

     Установив соотношения (90) и (91), получим из (84) и (88)

     (92)

В таком случае

     (93)

и стало быть,

C(x + 2τ) = C(x),     S(x + 2τ) = S(x).     (96)

решения некоторых задач

^*   Введенное здесь число τ есть не что иное, как π. Но мы, как и выше, избегаем привычных обозначений, чтобы с полной отчетливостью установить независимость нашего изложения от геометрических соображений.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-