решения некоторых задач

     Далее, пользуясь теоремой о почленном дифференцировании степенных рядов, получаем:

C'(x) = -S(x),   S'(x) = C(x).     (81)

Откуда

C"(x) = -C(x),   S"(x) = -S(x),

C'''(x) = S(x),   S'''(x) = -C(x),

C⁽⁴⁾(x) = C(x),   S⁽⁴⁾(x) = S(x)

и вообще при любом натуральном k

     (82)

     Установим теперь основную во всей теории теорему сложения для косинуса. Для этого отметим, что какой бы конечный промежуток [A, B] ни взять, для него найдется такая постоянная K, что при всех натуральных n и при всех x из [A, B] будет

| C ⁽ⁿ⁾(x) | ≤ K.

     Действительно, в зависимости от четности или нечетности числа n будет или | C ⁽ⁿ⁾(x) | = | C(x) |, или | C ⁽ⁿ⁾(x) | = | S(x) |, а каждая из непрерывных (см. теорема 1) функций C(x) и S(x) ограничена на [A, B].

     Отсюда (по теореме 2) следует, что для любых двух точек x и a из [A, B] будет

     (83)

     Но ведь для любых двух точек x и a всегда можно построить содержащий их промежуток [A, B]. Поэтому равенство (83) имеет место вообще для любых x и a.

     Заменим в (83) букву x на x + a. Это дает

Если использовать соотношения (82), то последнему равенству можно придать вид

Иначе говоря, коэффициентами при будут только числа C(a) и S(a), или эти же числа, но с обратными знаками.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-