Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
|
Примеры решения задач / Ряды / Степенные ряды / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
III. Разложение арксинуса. Рассмотрим в заключение вопрос о разложении функции arcsin x в ряд по степеням x. Непосредственное составление ряда Тейлора здесь было бы затруднительно, ввиду весьма громоздких выражений последовательных производных arcsin x. Использование биноминального ряда позволяет обойти эту трудность. Именно, как видели выше,
Заменим здесь x на -z, а затем z на x2, что дает
Интегрируя это равенство по промежутку [0, x], где -1 < x < 1, получим искомое разложение:
Очерк аналитической теории тригонометрических функций В математическом анализе большое значение имеют тригонометрические функции, которые, однако, вводятся в математику на основании геометрических построений, совершенно чуждых анализу. Возникает вопрос, можно ли построить теорию этих функций, не прибегая к геометрическим соображениям, а оставаясь на чисто аналитической почве. Вопрос этот следует рассмотреть, потому что наряду с евклидовой существуют и другие геометрии, в связи с чем естественно возникает опасение, что результаты анализа зависят от выбора геометрии. Может быть, приняв геометрию Лобачевского*, мы должны будем изменить и ряд теорем анализа? На самом деле результаты анализа от выбора той или иной геометрии не зависят, а тригонометрические функции можно определить и изучить, совершенно не используя никаких геометрических соображений. Здесь имеем в виду вкратце показать, как это можно сделать. Рассмотрим два степенных ряда
Пользуясь признаком Даламбера, легко показать, что каждый из этих рядов сходится при всех действительных x. Обозначим суммы этих рядов соответственно через** C(x) и S(x) и назовем их косинусом и синусом аргумента x. Таким образом,
Из этих формул сразу видно, что C(-x) = C(x), S(-x) = -S(x), (80) т. е. что косинус - функция четная, а синус - нечетная. _____________________________________________________ * Как известно, в геометрии Лобачевского нет подобных фигур. В то же время теория подобия лежит в основе обычного построения тригонометрии. ** Как мы знаем, эти суммы суть cos x и sin x. Поэтому мы могли бы и обозначить их этими символами. Однако мы предпочитаем обозначения C(x) и S(x), чтобы незаметно не использовать каких-либо привычных, но еще не обоснованных аналитически, свойств этих функций. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39- |
(78)
(79)
