решения некоторых задач

     В силу (7) ряд, состоящий из абсолютных величин членов последнего ряда, имеет мажорантный ряд

а так как этот ряд сходится (т. к. это есть геометрическая прогрессия со знаменателем ), то ряд (8), или, что то же самое, ряд (1), сходится абсолютно. Лемма доказана.

     Рассмотрим теперь какой-нибудь степенной ряд (1) и образуем множество A, состояние из тех x, при которых наш ряд сходится. Это множество заведомо не пусто, т. к. всякий ряд (1) сходится при x = 0.

     Пусть, далее, B есть множество абсолютных величин всех x, входящих в A, и R - точная верхняя граница^* этого множества B

R = sup B.

     Различим три случая, которые могут иметь место:

1) R = 0,     2) 0 < R < +∞     3) R = +∞.

     В первом из этих случаев ряд (1) сходится только при x = 0. Действительно, если он сходится при некотором x, то , откуда и | x | ≤ R = 0.

     Рассмотрим теперь случай 2). В этом случае ряд (1) сходится, и притом абсолютно, при каждом x, входящем в открытый промежуток (-R, +R). В точках же, лежащих вне замкнутого промежутка [-R, + R], ряд расходится. В самом деле, пусть сначала . Тогда | x | < R и по свойствам точной верхней границы в множестве B обязательно найдется число, большее чем |x|. Это число (по самому определению множества B) является абсолютной величиной какого-то элемента x₀ множества A. Иначе говоря, | x | < | x₀|, причем . Но тогда по лемме Абеля ряд (1) абсолютно сходится для нашего x.

     Если же x лежит вне [-R, +R], то | x | > R. Значит, | x | не входит в B, а сам x не входит в A, т. е. при этом x ряд расходится.

     Наконец, в случае 3) множество B не ограничено сверху. Значит, для любого действительного x найдется элемент множества B, больший чем | x |. Этот элемент, как и выше, можно записать в виде | x₀|, где . В силу леммы Абеля можно утверждать, что ряд (1) абсолютно сходится при взятом значении x. А так как это было произвольное действительное число, то ряд оказывается абсолютно сходящимся на всей оси.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-